Leider hat keiner der vorherigen Beantworter den Kern getroffen.
Zuerst:
Es gibt bestimmte Laufbahnen im Beamtenbereich; den einfachen, mittleren, gehobenen und höheren Dienst.
Der Beamte im mittleren Dienst wird als "Beamter auf Widerruf", eine relativ schwache Stellung, eingestellt und durchläuft eine in der Regel 2-jährige Ausbildung an Studieninstituten (Bildungseinrichtungen unter der Leitung der ausbildenden Körperschaften) und teilweise auch Berufsschulen. Danach wird man "Beamter auf Probe", später auf "Lebenszeit". Die Anstellung erfolgt in der Regel in der Stufe A 6, evtl. auch A 7.
Der Beamte im gehobenen Dienst wird ebenfalls zuerst auf Widerruf eingestellt und studiert (ja, bereits als Beamter) an einer eigenen Fachhochschule 3 Jahre inklusive den Ausbildungsabschnitten in der Verwaltung. Fachhoschulen gibt es sehr viele verschiedene: Für Gemeindebeamte, Polizisten, Finanzbeamte, die Bundesagentur für Arbeit und und und. Immer auf den jeweiligen Dienstherren abgestimmt. Neben allgemeinen Sachen lernt man in der Finanzhochschule halt viel über Steuerrecht, in der "Arbeitsamt"-Hochschule alles über Hartz IV und dergleichen. An so eine Fachhochschule kommt man aber nur, wenn man eine Stelle/Ausbildungsplatz bei einer Behörde ergattert hat. Nach dem erfolgreichen Abschluß des Studiums wird man dann ebenfalls Beamter auf Probe, normalerweise mit der Stufe A 9.
Stellen im höheren Dienst gibt es dann auch noch. Das sind Stellen, für die man ein abgeschlossenes Hochschulstudium (in der Regel eben nicht das Studium an den Fachhochschulen für den gehobenen Dienst) benötigt.
Beispiele wären die Juristen in den Gemeinden, die Ärzte im Gesundheitsamt, Ingenieure in den Bauämtern (zumindest in leitenden Funktionen) und und und. Da gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Hierbei muß jedenfalls das Studium zuerst "alleine" absolviert werden, danach kann man sich um eine Stelle bei den entsprechenden Behörden bewerben. Der höhere Dienst beginnt bei A 13.
Angestellte (oder besser: Tariflich Beschäftige) durchlaufen eine ähnliche Ausbildung für den mittleren Dienst (Angestelltenlehrgang 1) oder gehobenen Dienst (Angestelltenlehrgang 2) - aber so weit ich weiß nirgendwo an Fachhochschulen oder Unis sondern "nur" an Studieninstituten oder vergleichbaren Einrichtungen.
Und Angestellte sind zwar auch Beamte im haftungsrechtlichen oder strafrechtlichen Sinn (d.h. sie werden nicht unterschiedlich behandelt wenn straffällig werden o.ä.) aber entscheidend ist, daß Angestellte eben keine Beamte im statusrechtlichen Sinne sind. Also keine private Krankenversicherung, keine Ernennungsurkunde, kein Dienst- und Treueverhältnis usw...
In Deinem Fall würde ich mich bei Deinem Arbeitgeber/Dienstherren erkundigen, ob es Ausbildungsmöglichkeiten für den gehobenen Dienst im Beamtenbereich gibt.
Auch wenn man im gehobenen Dienst ist, gibt es dann noch weitere Möglichkeiten durch weitere Studiengänge die Voraussetzungen für den höheren Dienst zu erlangen.
Viel Spaß dabei.